MATEMATİK KÜLTÜRÜ

 

 

​

​

​

  Matematik Tarihi Notları

​

​

​

Matematikte  Kriz Dönemleri

​

Matematik hiç de sanıldığı gibi lineer bir çizgi üzerinde gelişmiyor.

Bilimlerde olduğu gibi onun da bunalım dönemleri var.

En başlıcaları:

1) İrrasyonel Sayılar  ve paradokslar (antik Yunan Dönemi)

2) Sonsuz Küçükler Hesabı

3) Eukleidesdışı Geometriler

4) Cantor'un Kümeler Kuramına ilişkin paradokslar

 

1) Antik Dönem:

  M.Ö 5.yüzyıl. Pythagorasçılar, karenin köşegen uzunluğunun, kenar uzunlukları gibii aynı türden bir büyüklük olmadığını anlıyorlar. Açıkçası bu büyüklük, iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz, bugün tanımladığımız anlamda bir  irrasyonel sayıya karşılık gelir. Bu yüzden de  sayıların oranına taptıkları dünyalarında  bu sayı açıklanamazdır ve  gizli tutulmalıdır.

     Yine Antik Yunan Döneminde Elea'lı Zenon'un kendi adıyla anılan paradoksları var. Örneğin Akhilleus ve Kaplumbağa,Ok paradoksu gibi.

Bunlar bilinen paradokslar olduğu için geçeceğim. Ancak bu paradoksların ortak özelliği şöyle bir varsayıma dayanmakta. Sonlu bir sürede sonsuza giden devinime olanak yoktur. Örneğin, kaplumbağa paradoksunda,Akhilleus'un  böyle sonsuza dek bölünebilen aralıkları sonlu bir sürede gerçekleştirmesi olanaksızdır..Halbuki bu paradoksa yakından baktığımızda bir çıkarım hatası olduğu farkedilmekte. Mesafenin sonsuz bölünebilir olması bu mesafenin sonsuz olduğu demek değildir. Yani bir büyüklüğün sonsuz sayıdaki bölümlerinin toplamı o büyüklüğü sonsuz yapmaz..

 

2)Sonsuz Küçükler hesabı (XVII. yüzyıl)

     Modern matematik başladığında o zamanlar  iki gelenek hakimdir. Biri Antik Yunandan gelen ispata dayalı geometri, diğeri de Hint ve daha sonra İslam matematiğinde öne çıkan sayı kavramı ve ona dayalı Cebir.

Bu yüzyılda iki önemli gelişme oluyor. Biri, Descartes'ın  Analitik Geometri (geometri ve cebirin birleşimi) çalışması, diğeri de Newton ile Leibniz'in birbirinden bağımsız oluşturdukları Sonsuz Küçükler Hesabı.

   Analitik Geometri olarak bilinen çalışmada, koordinatlar aracılığıyla eğrileri denklemlerle ifade etme olanağı doğuyor,bu arada cebirden analize geçiliyor; daha sonra da değişken,fonksiyon gibi kavramlar ortaya çıkıyor. Ancak, bu çalışmalar hızla ilerlerken,antik dönemdeki gibi kullanılan ispat yöntemleri de önemini yitiriyor. Matematik,mantıktan çok sezgi, imge ve deneyime bağlı bir çalışma tarzı başlıyor. Ancak doğru,dürüst incelenmeden çoşkunlukla  uygulamaya konulan çalışmalara daha sonraki yüzyılda bildiğimiz eleştriler gelmeye başlıyor.

 

  Örneğin,diferansiyel hesapların anlamına ve dayanaklarına ilişkin eleştriler Berkley, Hegel ve daha başka filozoflardan geliyor. Leibniz ve Newton bile kendi çalışmalarında temeldeki kavramlar üzerinde tam bir açıklık içinde değillerdir. Denebilir ki matematik sıradan bir bilim olmaktan çok bir sanat, hatta kimilerine göre kurgusal bir beceridir.

     XIX. yüzyılda  matematiğin temellendirilmesine ilişkin çabalar gelmeye başlıyor.(Özellikle Gauss,Cauchy..)

Örneğin karmaşık fonksiyonlar teorisini oluşturan Cauchy,sonsuz küçükler gibi ne olduğu açık olmayan kavramları matematikten ayıklayarak analizde ciddi bir reform başlatıyor. Bu gelişmenin  ardından bu kez başka sorunlar ortaya çıkıyor. Sonsuz sayılar ve süreklilik sorunları.. (Elbette başka matematikçilerin katkılarını atlıyorum.) Onları da bu yüzyılın başında Cantor ele alıyor ve ortaya çıkardığı  Kümeler Kuramıyla bu sorunlara büyük ölçüde  açıklık getirmiş oluyor. Ancak daha sonra biliyorsunuz, bunalım bitmiyor aritmetiği mantıkçılıkla açıklamaya çalışan Frege ve ardından onu bunaltan Russell geliyor.

 

3) Eukleides dışı Geometriler

    İki bin yılı aşkın bir süre biricik olan Euclides geometrisinden farklı geometriler çıkmasıyla matematik bir kez daha sarsıntı geçiriyor. Bunun için Douglas'ın kitabından bir paragraf düşüyor ve bu konuyu başka bir zamana erteliyorum. sayfa:158

'Eukleidesdışı geometri için ipucu,Sacsheri ve Lambert'inkiler gibi geometrilerde ortaya çıkan önermeler hakkında 'düz düşünmek'di.Saccherici önermeler ancak eğer 'düz çizgi' nin ne anlama gelmesi gerektiğine ilişkin önyargılı kavramlarından kendinizi kurtaramazsanız,'düz çizginin doğasına ters'tirler..Bununla birlikte kendinizi bu önyargılı imgelerden soyutlayabilirseniz ve 'düz çizgi'yi basitçe yeni önermeleri gerçekleyen bir şey olarak alırsanız,o zaman kökten yeni bir bakış açısına kavuşursunuz...'  (Saccheri Euclides'in 5. postulatını ispatlamak için yeni bir yaklaşım getirmeyi denemiş ve farkında olmadan Hiperbolik Geometri olarak bilinen geometriyi keşfetmişti.)

.

 4) Küme kuramına ilişkin paradokslar

 Cantor'la birlikte matematiğin büyük ölçüde küme kavramına dayandığı ya da bu kavrama indirgendiği sanılırken,Russell'in bulduğu paradoksla matematik dünyası bir kez daha sarsılıyor..Frege'yi üzen bu paradoks,küme kavramından kaynaklanan bir paradokstu..Bu kısmı daha önce anlatmış olduğum için geçiyorum. Ancak paradokslardan kurtulma yolunda ortaya atılan çözüm önerileri içinde en önemli iki tanesi var..

Birincisi,kümeler kuramını hiçbir eleştiriye yer vermeyecek şekilde sınırlandırılmış aksiyomatik bir sistem kurmak.Ancak bu sistemin sadece paradoksları önlemeye yönelik olduğu ama açıklamakta yetersiz olduğu çok geçmeden anlaşılıyor.

İkincisi ise, elemanların tanımını kümeye başvurarak belirlememek. Bu yönde yapılan çalışmalar  hem önlemeye hem açıklamaya yönelik oluyor. (Bilindiği gibi bir kümeyi elemanları belirler.Elemanlardan herhangi birini kümeye başvurarak belirleme yoluna gittiğimizde döngül bir tanımlamaya düşeriz.)

Ancak iş burada bitmiyor..Matematiği temellendirme düşüncesinde olanlar için paradokslar sorununa herkesin birleştiği bir çözüm getirilememiş olduğunun da eklemek lazım.

Burada yine Douglas R.Hofstadter 'in GÖDEL;ESCHER,BACH adlı kitabından bir not düşmek istiyorum..(Sayfa 154)

 'Herkesin açık bir kavramına sahip olduğu bir şeyi nasıl tanımlayabilirsiniz? Bunun tek yolu,sözcüğünüzün teknik bir terim olduğunu ve aynı biçimde yazılan günlük dildeki sözcükle karıştırılmamasını açıkça ortaya koymanızdır..Günlük dildeki sözcükle ilişkisinin çağrışımsal olduğunu vurgulamanız gerekmektedir..Euclides bunu yapmamıştı..Çünkü Elemanlar'ının nokta ve çizgilerinin gerçek dünyanın tek nokta ve çizgileri olduklarına gerçekten inanıyordu

‘’Böylece bütün çağrışımların giderildiğinden emin olmadığından, Euclides okurlarını çağrışım güçlerini serbest bırakmaya davet etmiş oluyordu.’’ 

Douglas bir yerde şöyle de demekte. Kullandığımız sözün bizim için bir anlamı vardır..Sözcük yaygınlaştıkça,onunla ilgili çağrışımlarımız daha da artar ve anlamı daha derinlere kök salar..Bu nedenle yaygın bir sözcük için bir tanım verildiğinde,biz ona uymak yerine, büyük oranda bilinçsizce, zihnimizim çağrışım deposunda bulduğumuzla yönlendiriliriz. Euclides;Elemanlar adlı eserinde 'nokta','daire' gibi yaygın sözcüklerin tanımlarını vermeye girişirken bu türden bir problem yaratmasıdır.

 

Matematik Felsefesi Ekolleri

   Şimdi de biraz matematik felsefesi ekollarından (sezgicilik,platonculuk,mantıkçılık,formalizm ) formalizm üzerinde durmak lazım..

Formalizm nedir?

Matematik bir dildir,onun bu dilden ne fazlası ne eksiği vardır. Bu görüşün temsilcisi sayılan Hilbert'e göre matematik basitçe, simgelerle oynanan bir oyundur. Öyle ki sistemi oluşturan terimler anlamsız bir simge, ilişkileri dile getiren tümceler içerikten yoksun bir önermedir. Matematiğin bütün teoremleri formal lojik kullanılarak aksiyomatik kümeler kuramından elde edilebilir. Açıkçası Hilbert'e göre matematik; mantığa indirgenerek değil,simgesel aksiyomatik bir yapıya dönüştürülerek temellendirilmeli..(O dönemde mantıkçıların da yaptığı yetmemişti, şimdi sırada Formalizm var)

Örneğin 1+1=2 tümcesinde eşitliğin iki yanındaki sayılara 1+1 ile 2 ‘nin birbirinin yerine kullanabileceğimiz simgeler olmaktan başka bir anlam taşımadıkları gözüyle bakılmalı..Kurduğumuz bu dizgenin tutarlılığı, dizgenin kendi kuralları içerisinde bizi 2≠2 gibi olmadığı gösterilerek sağlanmalı..

 Oysa klasik matematikte tutarlılık matematiksel bir çalışmanın tutarlılığı, tutarlılığı varsayılan başka bir dizge model alınarak anlaşılıyordu. Örneğin geometrinin tutarlılığını göstermek için aritmetiğin model alınması veya tersi.. Yani klasik dönemdeki tutarlılık yoklaması,sorunu bir alandan başka bir alana kaydırma biçimindeydi.. (Bu da bizi ya döngül çıkmaza sokar ya da sonu gelmez bir geriye gidişe iter..)  Hilbert tutarlılığı,bu sakıncaları taşımayan doğrudan bir yöntemle belirlenebileceğini gösterebilmek istiyor. Bir dizgenin tutarlı olması için, herhangi bir çelişki içermemesi yani dizgenin önerme kalıpları arasında P ve P-değil gibi birbiriyle çelişen iki tümceye yer vermemesidir. 

Yani Formalizm'de matematik; kendi içerisine dönen,kendi kendine araştıran bir alan, kağıt üzerine işaretler koyarak oynanan aksiyomlardan, teorem çıkarmaya yarayan bir oyun.Ancak Hilbert'in Metamatematik diye bilinen bu çalışması daha ilk cildi yayınlanmadan (1931 de)  Gödel ile kırılıyor.. 

    Gödel'in bulduğu neydi?

   Belirli miktarda aritmetiğin ifade edilebildiği herhangi bir tutarlı formel sistem içerisinde; öyle önerme bulunabilir ki,ne bu önerme ne de bunun olumsuzu bu sistem içerisinde ispatlanabilir. Yani eldeki formal sistem içerisinde öyle doğrular bulabiliriz ki bunların ispatları yoktur. (Gödel burada Hilbert'in doğruluk kavramı yerine ispat kavramını koyuyor.) Bu nedenle birtakım aksiyomlar üzerine kurulmuş formel ve tutarlı sistemler aksiyomlardaki yetersizlik nedeniyle aslında eksiktirler.

     Daha net bir ifadeyle Gödel’in keşfettiği şey şuydu; toplama,çarpma ve 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,..(Peano aksiyomlarıyla oluşan bir dizge) ile ilgilenirsek bunlar hakkındaki bütün gerçeği ve sadece gerçeği elde etmeye çalışan herhangi bir aksiyomlar kümesi eksik olacaktır.Yani bu aksiyomatik sistem ya tutarsız ya da eksik olacaktır. Dolayısıyla eğer siz bir aksiyomatik sistemin yalnızca doğruyu söylediğini kabul ederseniz, o zaman bu sistem size bütün doğruları söylemeyecektir. Eğer aksiyomların sizin yanlış teoremler ispatlamanıza izin vermediğini kabul ederseniz, bu durumda aksiyomatik sistem eksik olacaktır.

 Hilbert'in yaptığı neydi? Temel aritmetikteki tüm doğruları,aksiyomlardan türetebilmek, bu sayede matematikteki tüm doğruları da bu aksiyomlardan elde edebilmek.

Oysa Gödel bunun olanaksızlığını gösterdi..'Bu tümce ispatlanamaz' ifadesini formalize etti..Bu G ifadesi olsun. Bu G ifadesinin  değilini de formalize etti..Daha sonra G ifadesinin doğruluğu ispatlanabilirse,değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi. (Doğruluk ile ispat aynı şey değil..)Ve Gödel buradan iki sonuca vardı..Basit aritmetik içeren sistem tutarlı ise eksiksiz demek değildir. Yani aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin formüllerini ve işlemlerini ) kullanarak ispatlamak mümkün değildir.

   Gödel'in eksiklik teoremini dayandırdığı düşünce neydi? Burada onun Platonculuğuna değinmek lazım....Gödel için matematiksel hakikatler bizden bağımsızdır..Eldeki formel matematiksel sistemlerimiz eksiktir çünkü matematiksel hakikat bundan daha fazla bir şeydir. (Bu,Gödel'i  Husserl'e yaklaştırıyor. Çünkü Husserl'e göre matematik nesnelerle fizik nesneleri tecrübe etmek aynı şey!!..Dahası fenomenolojiye göre bir nesneyi bütün olarak algılamayız, onu kısmen algılarız. Bundan dolayı nesne hakkındaki bilgimiz eksiktir ve nesnenin kendisi bizim tecrübemizi aşkındır.) 

   Gödel, matematiksel sezgiye, fiziksel nesnelerin var olduğunu söyleyen duyu algısı kadar güvenmemiz gerektiğini söylüyor. Matematiksel bilginin bizim dışımızda olduğunu düşünüyor fakat aksiyomatik sistem inşa etmekle o bilgileri olası da olsa elde edebileceğimizi söylüyor. Yine Husserl gibi bir nesnenin varlığını veren ipuçların derece derece olduğunu dolayısıyla onunla olan tecrübemizin yanıltıcı olabileceğini düşünüyor. (Basit aritmetiksel nesneler hakkındaki kavramlarımız nesiller boyunca özümsenmiş,zihnimize oturmuş..Aynı şeyi  sonsuz kümelere dair kavramlarımız için söylemek zordur..Bu kavramların bizi yanıltması daha olasıdır.

    Bu bağlamda,Gödel için tümdengelimsel olan aksiyomatik bir sistem içinde bir sorunun karar verilemez olması,mutlak anlamda karar verilemez olması demek olmadığını da eklemek lazım.. Gödel platonculuğunun sonucu olarak,sadece eldeki sistem için aksiyomların yetersiz olduğunu eğer daha güçlü aksiyomlar bulunabilirse ispatın mümkün olabileceğini ekler..Ancak hangi aksiyomların seçileceğinin ayırdına nasıl varılacak? Üzerinde çalışılarak elde edilmiş aksiyomların kullanışlı olmasıyla..(aksiyomların matematikte aynı zamanda fizikteki yararlılıklarıyla) Örneğin Cantor'un Süreklilik Hipotezinin çözümüne yol açacak gelecekte matematikte sezgiler mümkündür.)

 

 Wittegenstein için felsefenin matematiğe sunacağı hiçbir şey yoktur, matematiğin de felsefeye. Matematik ona göre bir hesaptır. Matematiğin bazı kurallardan ibaret olduğunu, epistomolojik ve ontolojik sorunları olmayacağını söyler ve bu yüzden  Hilbert'tin, Gödel'in de karşısındadır. Hatta bir keresinde 'amacım Gödel'in ispatı hakkında konuşmak değil,onu es geçmektir 'der.

 Poincare sezgiciliğe önem veren bir matematikçidir..Ve bu konuda onun düşüncelerini yazmadan geçemeyeceğim..'’Sezgiye yer vermeyen matematikte yeni buluşlara gitme şöyle dursun,ispat bile yapılamaz. Başvurulduğunda ise ortaya konan indirgeme döngülü bir çıkarım olmaktan öteye gidemez..'’ (Başka bir yazıda Poincare'nin paradokslarda çatışkı nerede başlar diye bir makalesinden bahsetmek lazım.)

 Bir de Carnap’ın sözlerine yer verelim..'Matematiği sayısız dizgelerin bir bütünü saymak daha yerinde bir belirleme olur. Matematiği az sayıda aksiyomlardan çıkarsana bilen bir yığın teoremden ibaret saymak yanlıştır.'

  Yine Poincare.'’Geometriyi,hani şu Chicago'daki ünlü makinede bir yandan domuzlar canlı canlı giriyorlar öbür yanda sosis olarak çıkıyorlar ya onun gibi,bir ucundan aksiyomları koyduğumuz öteki uçtan teoremleri aldığımız bir makineyle değiştirebiliriz. Bu makineler ne yaptıklarını ne kadar biliyorlarsa matematikçinin yaptığını da o kadar bilmesi yeterlidir.'’

    Özetle,aranan matematiğin salt kendi içinde bir kesinlikse bunu bulamayacağımızı Gödel teoremleri göstermiştir. Fakat bu durum Hilbert programının iki temel amacı tamlık ve tutarlılığın erişilemez olduğu demek değil. Sorunun bir ölçüde de olsa başlangıçta konan aritmetik ve mantık aksiyomlarıyla sınırlamadan kaynaklandığı söylenebilir. Sınırlama yapılmadan,Gentzen sonsuz

                                                                                                                                       Mart 2014